User Tools

Site Tools


10404-h-m-hypebolic-la-gi

Trong toán học, hàm hyperbolic có những tính chất tương tự như các hàm lượng giác thông thường. Những hàm hyperbolic cơ bản gồm sin hyperbolic "sinh", và cosin hyperbolic "cosh", hàm tang hyperbolic "tanh" và những hàm dẫn ra từ chúng, tương ứng như các hàm dẫn xuất trong hàm lượng giác. Hàm hyperbolic ngược là các hàm sin hyperbolic diện tích "arsinh" (hay "asinh" hoặc "arcsinh")[1].

Giống như các điểm (cos t, sin t) nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, các điểm (cosh t, sinh t) nằm trên phần bên phải của hyperbol đều. Các hàm Hyperbol xuất hiện nhiều trong các nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính hay gặp, phương trình xác định hình dạng dây xích treo giữa 2 điểm, và phương trình Laplace trong hệ tọa độ Descartes. Ngoài ra chúng còn xuất hiện nhiều trong các vấn đề bao gồm lý thuyết điện từ, sự truyền nhiệt, thủy động lực học, và thuyết tương đối hẹp.

Hàm hyperbolic nhận giá trị thực đối với các tham số thực được gọi là góc hyperbolic. Trong giải tích phức, chúng chính là những hàm mũ hữu tỉ, hay là hàm phân hình (en:meromorphic function).

Các hàm hyperbolic được hai nhà toán học Vincenzo Riccati và Johann Heinrich Lambert độc lập đưa ra vào những năm 1760.[2] Riccati sử dụng ký hiệu Sc.Cc. ([co]sinus circulare) để nói đến các hàm lượng giác Sh.Ch. ([co]sinus hyperbolico) để nói đến các hàm hyperbolic. Lambert là người đã đưa ra các ký hiệu được sử dụng như ngày nay.[3]

Biểu thức của các hàm hyperbolic[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức biểu diễn các hàm hyperbolic:

Các hàm hyperbolic có thể biểu diễn qua số phức:

với iđơn vị ảo định nghĩa là i2 = −1.

Dạng phức trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ công thức Euler.

Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh2x có nghĩa là (sinh x)2, chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbolic khác.

Mối quan hệ giữa các hàm hyperbolic[sửa | sửa mã nguồn]

Từ đó:

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.

Sin hyperbolic và cos hyperbolic thỏa mãn đẳng thức

tương tự như công thức lượng giác Pythagore: . Do vậy ta cũng có:

Tang hyperbolic là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến[4]:

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:[5]

Cộng các đối số[sửa | sửa mã nguồn]

đặc biệt

Và:

Công thức trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Và:

Nguồn tham khảo.[6]

Công thức tính một nửa đối số[sửa | sửa mã nguồn]

với sgnhàm dấu.

Nếu x ≠ 0, thì

[7]

Xem thêm: Danh sách tích phân với hàm hyperbolic

với Chằng số tích phân.

Ta có thể biểu diễn các hàm hyperbolic bằng chuỗi Taylor:

Hàm sinh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ lẻ của x. Do vậy nó là hàm lẻ, hay, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

Hàm cosh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ chẵn của x. Do vậy nó là hàm chẵn, hay, nó đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm mũ.

(chuỗi Laurent)
(chuỗi Laurent)

với

số Bernoulli thứ n
số Euler thứ n

Từ định nghĩa của sinh và cosh hypebolic, ta có các đồng nhất thức sau:

Các biểu thức trên tương tự như các hàm sin và cosin, dựa trên công thức Euler, như là tổng của hai mũ lũy thừa.

Thêm vào đó,

Vì hàm mũ được định nghĩa cho cả số phức, có thể mở rộng định nghĩa hàm hypebolic cho các đối số phức. Khi ấy các hàm sinh z và cosh z là những hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được cho bởi công thức Euler và áp dụng cho các biến phức:

do đó:

Vì vậy các hàm hypebolic phức là những hàm tuần hoàn theo phần ảo, với chu kỳ (và cho các hàm tang và cotang hypebolic).

10404-h-m-hypebolic-la-gi.txt · Last modified: 2018/11/07 17:08 (external edit)